Pi : Le nombre le plus passionnant de l'histoire des mathématiques

Pi : Le nombre le plus passionnant
de l'histoire des mathématiques

En mathématique le nombre pi est un nombre réel correspondant au rapport de la circonférence du cercle à la longueur de son diamètre. Dans la pratique courante, on utilise généralement la valeur approchée par défaut de pi égale à 3,14.

Recouvrant aussi bien la sphère de la géométrie que l’analyse ou l’algèbre, le nombre pi résume une histoire des mathématiques vieille de plus de 3000 ans. Il est au coeur des problèmes de géométrie dès l’Antiquité, et en particulier chez les Grecs.

La plus ancienne valeur de Pi dont l'utilisation est attestée provient d'une tablette babylonienne en écriture cunéiforme, découverte en 1936 et datée de 2000 avant J.-C. Le chiffre Pi aurait était trouvé en comparant le prérimètre du cercle avec celui de l'hexagone inscrit, égal à trois fois le diamètre ; ils en déduisirent cette valeur approximative : Pi = 3 + 1/8 (soit 3,125).

Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient un texte recopié vers l'an 1650 avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d'un manuel de problèmes plus ancien encore. Le calcul mentionné par ce texte implique que Pi était évalué à (16/9)^2 (soit 3,160...).

Deux passages de la bible, datés aux alentours de 550 avant J.-C., utilisent implicitement la valeur Pi = 3,...

1 Rois 7:23
"Il fit la mer de fonte. Elle avait dix coudées d'un bord à l'autre, une forme entièrement ronde, cinq coudées de hauteur, et une circonférence que mesurait un cordon de trente coudées".

2 Chroniques 4:2
"Il fit la mer de fonte. Elle avait dix coudées d'un bord à l'autre, une forme entièrement ronde, cinq coudées de hauteur, et une circonférence que mesurait un cordon de trente coudées".

D'où on peut en déduire que pi=3. Une valeur peu précise par rapport à d'autres approximations plus anciennes, mais elle est bien suffisante pour les constructions de l'époque.

Mais certaines personnes ont cherché une valeur plus précise en utilisant la kabbale pour obtenir 3,141509...

Archimède (287-212 av. J.-C.) utilise des figures géométriques régulières inscrites et circonscrites pour calculer une approximation de la surface du cercle. Avec des polygones à 96 côtés Archimède obtint comme encadrement: 3+10/71< pi<3+10/70 ce qui donne Pi=3.142 avec une précision de 1/1000. On utilisera la méthode d'Archimède pendant près de 2000 ans

Vers 1450, Al'Kashi calcule Pi avec une précision de 14 décimales par la méthode des polygones d'Archimède. C'est la première fois dans l'histoire des mathématique que l'on obtient plus de 10 décimales de Pi.

En 1609, Ludolph von Ceulen, après des années de recherche, obtient 34 décimales du nombre Pi qu'il fait graver sur sa tombe.

Il faudra attendre le18ème siècle pour que l'on trouve 100 décimales au nombre Pi et le début du 20ème pour 1000 décimales

Il faut attendre la naissance du calcul infinitésimal, dans la seconde moitié du 17^ème siècle, pour que Gottfried Wilhelm Leibniz fasse intervenir le nombre pi dans l’étude des séries et publie les formules :

Formules qui découle des travaux ménés avec Isaac Newton(1643-1727) et James Grégory (1638-1675).

Puis Leonhard Euler (1707-1783) découvrit la formule:

A partir du 18^ème siècle, les caractéristiques du nombre pi sont étudiées par de nombreux mathématiciens.
En 1766, Adrien Marie Legendre, mathématicien français, démontre l’irrationalité du nombre pi, à savoir qu’il ne peut s’écrire sous la forme d’une fraction du type P/Q. P et Q étant des nombres entiers.

En 1874, Williams Shanks calcule les 707 décimales du nombre pi que le Palais de la découverte de Paris recopie en 1967sur le plafond de la salle "pi". Les décimales étaient fausses à partir de la 528^ème. L'erreur de Shanks fut découverte en 1945, et contrairement à ce que l'on raconte encore, les décimales de la salle pi du Palais de la découverte sont aujourd'hui toutes parfaitement exactes.

En 1882, l’Allemand Ferdinand von Lindemann établit sa transcendance, c’est-à-dire que P n’est racine d’aucun polynôme à coefficients entiers. Ce résultat permet de démontrer l’impossibilité de la quadrature du cercle, problème qui avait occupé les mathématiciens pendant plus de 2000 ans, et consistant à construire, à l’aide d’une règle et d’un compas, un carré dont l’aire soit égale à celle d’un cercle donné.

Le nombre p intervient aujourd'hui dans presque tous les domaines des mathématiques (trigonométrie, nombres complexes, exponentielles, statistiques mais également en physique, en astronomie...
Bien que l’on puisse maintenant calculer des millions de décimales de pi ( plus de 200 milliards) à l’aide de supercalculateurs et d’algorithmes puissants ou de suites très rapidement convergentes, les recherches sur ce nombre ne sont pas closes : par exemple, on ne sait pas si les décimales de pi sont aléatoires.

Certaine découverte du mathématicien hindou Srinivasa Ramanujan, comprises seulement ces dernières années alors qu'il est mort en 1920 ont été cruciales pour les progrès mathématiques récents du calcul du nombre pi.
Le 19 septembre 1995 à 0h29 (heure locale: GMT-04) le mathématicien canadien Simon Plouffe découvrit avec l'aide de Peter Borwein et David Bailey une formule qui boulversa bon nombre d'idées reçues sur Pi. Cette formule possède la propriété inattendue d'autoriser le calcul des décimales binaires du nombre pi indépendamment les unes des autres, ce que tout le monde croyait impossible.

Un an plus tard, Simon Plouffe renouvela l'exploit mais pour la base 10, mais elle n'est pas applicable car elle est quadratique (convergence en n²). Il a aussi démontré que cela est possible dans toutes les bases. Jusqu'à présent, connaître la milliardième décimale du nombre pi (en base 2 ou 10) obligeait à calculer les précédentes.

Le français Fabrice Bellard a d'ailleurs obtenu le record du monde du calcul de décimale binaire de pi en utilisant la série de Plouffe, il a détenu le record du monde le lundi 22 septembre 1997 en ayant calculé la 1000 milliardième décimale en binaire du nombre pi (qui est 1), mais pour ce dernier record, il a utilisé une autre formule plus rapide qu'il a découvert lui-même. Le record actuel est détenu par Colin Percival qui a obtenu la 40000 milliardième décimale binaire de pi le mardi 9 février 1999 en utilisant la formule de Bellard.

Nouveau record établit autour du nombre pi : Akira Haraguchi , psychiatre japonais de 59 ans, a établit samedi 2 juillet 2005 le record de mémorisation du nombre "pi" en alignant par coeur 83.431 décimales. Il lui aura fallu 13 heures pour accomplir l'exploit dans un hall public de Kisarazu (banlieue sud de Tokyo). Le précédent record dans le livre Guinness des record, était de 42.195 décimales. Akira Haraguchi était déjà parvenu à réciter à la suite 54.000 décimales de pi en septembre dernier, mais le record n'avait pas été homologué car il avait dépassé le temps imparti par les organisateurs. Ce nouveau record a été établit sans limite de temps.

Le nombre pi n'a décidément pas finit de passionner les mathématiciens... et les autres!

Darren Aronofsky, réalisateur s'est aussi penché sur des théories mathématiques pour son film "pi", film passionnant qui raconte l'histoire d'un mathématicien qui essaie de trouver une séquence au nombre pi mais qui sombre peu à peu dans la folie...